题目

题型：模拟题难度：来源：

如图甲，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌ Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），抛物线y=ax²+ax-2经 过点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O′，连接AE，在⊙O′上另有一点F，且AF=AE，AF交BC于点G，连接BF，下列结论：①BE+BF的值不变；②，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。
甲                                                       乙

答案

解：（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA得OD=2+1=3，CD=1，
∴C点坐标为（-3，1），
∵抛物线经过点C，
∴1=（-3）²a+（-3）a-2，
∴a=，
∴抛物线的解析式为； （2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P，Q，使四边形ABPQ是正方形，
如图甲，以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，可证△PBE≌△AQG≌△BAO，
∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，-1），
由（1）抛物线得，
当x=2时，y=1；
当x=1时y=-1，
∴P，Q在抛物线上，
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1），Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形；
甲
（3）结论②成立，
证明如下：
如图乙连EF，过F作FM∥BC交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG，
∴
由（1）知△ABC是等腰三角形，
∴∠1=∠2=45°，
∵AF=AE，
∴∠AEF=∠1=45°，
∴∠FAF=90°，
EF是⊙O′的直径，
∴∠EBF=90°，
∵ FM//BG，
∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°，
∴BF=MF，
∴。
      乙