题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，设抛物线C₁：y=a（x+1）²-5， C₂：y=-a（x-1）²+5，C₁与C₂的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2。
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG，记过C₂顶点Ｍ的直线为l，且l与x轴交于点N。
① 若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1， 2），求点N的横坐标；
② 若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围。

答案

解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C₁上，
∴把点A坐标代入得a=1，
∴抛物线C₁的解析式为，
设B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；（2）①如图1，
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH=5，
过点G作GE⊥DH，垂足为E，
由△DHG是正三角形，可得EG=，EH=1，
∴ME=4，
设N（x，0 ），
则NH=x-1，由△MEG∽△MHN，
得，
∴，
∴x=，
∴点N的横坐标为；
② 当点D移到与点A重合时，如图2，
直线l与DG交于点G，此时点Ｎ的横坐标最大，
过点Ｇ，Ｍ作x轴的垂线，垂足分别为点Ｑ，F，
设Ｎ（x，0），
∵A（2，4），
∴G（，2），
∴NQ=，ＮF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴，
∴，
∴，
当点D移到与点B重合时，如图3，
直线l与DG交于点D，即点B，
此时点N的横坐标最小，
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），
D（-2，-4），
设N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴，
∴，
∴，
∴点N横坐标的范围为≤x≤。

图1

图2

图3