题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（x＞0）。
（1）△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在_______；
（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值。

答案

解：（1）x，D点；（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=x²；
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，
∴FN=FC=6-2x，
∴GN=3x-6，
由于在Rt△NMG中，∠G=60°，
所以，此时y=x²-（3x-6）²=，
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC=6-x，
∴y=（6-x）²=；
（3）当0＜x≤2时，
∵y=x²在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x=2时，y_最大=；
当2＜x＜3时，
∵y=，在x=时，y_最大=；
当3≤x≤6时，
∵y=，在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x=3时，y_最大=，
综上所述：当x=时，y_最大=。