题目

题型：北京中考真题难度：来源：

已知：抛物线与x轴有两个不同的交点。
（1）求k的取值范围；
（2）当k为整数，且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长。

答案

解：（1），
依题意，得，
∴k的取值范围是k且k≠1，①；
（2）解方程3x=kx-1，得，
∵方程3x=kx-1的解是负数，
∴3-k>0，∴k<3，②，
综合①②，及k为整数，可得k=2，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x；
（3）如图，设最大正方形ABCD的边长为m，
则B、C两点的纵坐标为-m，
且由对称性可知：B、C两点关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为：x=-2，
∴点C的坐标为，
∵C点在抛物线上，
∴，
整理，得，
∴（舍负），
∴。