题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0。
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y= mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围。

答案

解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x-2=0，
∴x=2 方程有实数根；
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0
不论m为何实数，△≥0成立，
∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；（2）设x₁，x₂为抛物线y= mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标，
则有x₁+x₂=，x₁·x₂=
由| x₁-x₂|====，
由| x₁-x₂|=2得=2，
∴=2或=-2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y₁=x²-2x或y₂=-x²+2x-
即y₁= x（x-2）或y₂=-（x-2）（x-4）
其图象如右图所示；（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y₁，y₂组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围，
当y₁=y时，得x²-3x-b=0，△=9+4b=0，解得b=-；
同理，可得△=9-4（8+3b）=0，得b=-，
观察函数图象可知当b<-或b>-时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点，
由
当y₁=y₂时，有x=2或x=1
当x=1时，y=-1，
所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线y=x-2，
综上所述可知：当b<-或b>-或b=-2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点。