题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

在直角坐标系xoy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C。
（1）求k的值；
（2）求直线BC和抛物线的解析式；
（3）求△ABC的面积；
（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标。

答案

解：（1）直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后，过两点B，C，
从而可设直线BC的方程为y=kx+3
令x=0，得C（0，3），
又B（3，0）在直线上，
∴0=3k+3
∴k=-1；
（2）由（1），直线BC的方程为y=-x+3，
又抛物线过点B，C，
∴
∴抛物线方程为；
（3）由（2），令
得，
即A（1，0），B（3，0），而C（0，3），
∴△ABC的面积S_△ABC=（3-1）·3=3平方单位；
（4）由（2），D（2，-1），设对称轴与x轴交于点F，与BC交于E，可得E（2，1），连结AE，
∵
∴AE⊥CE，且AE=，CE=
（或先作垂线AE⊥BC，再计算也可）
在Rt△AFP与Rt△AEC中，
∵∠ACE=∠APE（已知）
∴
即
∴，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）。（x轴上、下方各一个）