题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
（3）是否存在一点P，使S△_PAB=S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为：，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
所以，
设直线AB的解析式为：，
由求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入中，
解得k=-1，b=3，
所以；
（2）因为C点坐标为（1，4），
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
（平方单位）；
（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则
，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：，
化简得：，
解得：，
将代入中，解得P点坐标为。