题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴，B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，∠OAD=30度，折叠后，点O落在点O₁，点C落在线段AB点C₁处，并且DO₁与DC₁在同一直线上。
（1）求C₁的坐标；
（2）求经过三点O，C₁，C的抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值。

答案

解：（1）过点C₁作C₁F⊥x轴于点F，如图：
在Rt△ADO中，∠OAD=30°，AO=BC=，
OD=tan30°×OA=，
由对称性知：
，
∴，
∴，
∴，
∴点C₁的坐标为（-2，）；
（2）设经过三点O，C₁，C的抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，则
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（3）∵⊙P与两坐标轴相切，
∴圆心P应在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上，
即在直线y=x或y=-x上，
若点P在直线y=x上，根据题意有
，解之得，
∵R>0，
∴，
若点P在直线y=-x上，根据题意有
，解之得，
∵R>0，
∴，
∴⊙P的半径R为。