题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF。
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
（3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

答案

解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥DG
所以
所以。
（2）的周长之和为定值
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，
所以四边形FHCG为矩形
所以FH=CG，FG=CH
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH
由BC=10，AB=5，AM=4，可得CH=8，BH=6，
所以BC+CH+BH=24。
（3）设BE=x，则
所以
配方得
所以，当时，y有最大值
最大值为。