题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3。

（1）求直线BM的解析式；
（2）求过A、M、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形？若没有，请说明理由；若有，则求出一个符合条件的P点的坐标。

答案

解（1）∵MO=MD=4，MC=3，
∴M、A、B的坐标分别为（0，4），（-4，0），（3，0）
设BM的解析式为y=kx+b，
则，
∴BM的解析式为；
（2）设抛物线的解析式为，
则，解得a=b=-，c=4，
∴；
（3）设抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形。
分别过M、B作MB的垂线，它与抛物线的交点即为P点。
过M作MB的垂线与抛物线交于P，过P作PH⊥DC交于H，
∴∠PMB=90°，
∴∠PMH=∠MBC，
∴△MPH∽△BMC，
∴PH∶HM=CM∶CB=3∶4，
设HM=4a（a>0），则PH=3a，
∴P点的坐标为（-4a，4-3a），
将P点的坐标代入得：
，
解得a=0（舍去），，
∴P点的坐标为。