题目

题型：贵州省中考真题难度：来源：

如图所示，抛物线y=ax²-2x+c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）⊙M是过A、B、C三点的圆，连接MC、MB、BC，求劣弧CB的长；（结果用精确值表示）
（3）点P为抛物线上的一个动点，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的点P的坐标。（结果用精确值表示）

答案

解：（1）把x=0和y=0分别代入y=x-3，得
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，-3），
把x=0时，y=-3；
当y=0时，x=3代入y=ax²-2x+c，
得，解得：，
∴y=x²-2x-3；
（2）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=3，x₂=-1；
∴C（-1，0）
∴AC=4，BC=，
∵OA=OB=3，
∴∠CAB=45°，
∴∠CMB=90°，
∴MB=MC=
∴的长是π；
（3）∵y=x²-2x-3的对称轴是x=-=1，当x=1时，y=-4，
∴D（1，-4），
∴S_△ACD=×4×4=8，
∴S_△APC=10，
设存在点P（x，y），
∴∣y∣=5，
∴y=5时，x²-2x-3=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
当y=-5时，P点不在抛物线上，
∴P₁（4，5），P₂（-2，5）。