题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2a，CD=a，BC=2，四边形BEFG是矩形，点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上。设FG=x，矩形BEFG的面积为y。
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求x的值；
（3）当∠DAB=30°时，矩形BEFG是否能成为正方形，若能，求其边长；若不能，请说明理由。

答案

解：（1）过点D作DH⊥AB于H，
因为在矩形BEFG中，FG⊥AB，所以FG∥DH，
所以△AGF∽△AHD，
所以，即，得，
所以，
因此，
即所求的函数关系式为；
（2）依题意，得，
因为a≠0，解以上方程得，x₁=1，x₂=3，
因为0＜x≤2，所以x=3舍去，取x=1，
故当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，x的值为1；
（3）矩形BEFG不能成为正方形；
在Rt△AHD中，因为∠DAH=30°，所以tan30°=，
即a=，
因为EF≥CD=a=>2，即EF＞2，
又因为0＜x≤2，即0＜FG≤2，所以EF＞FG，
因此矩形BEFG不能成为正方形。