(1)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长;
(2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∥DC ?
(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(4)△PQE能否成为直角三角形?若能,写出t的取值范围;若不能,请说明理由。
解:(1)t =(50+75+50)÷5=35(秒)时,点P到达终点C,
此时,QC=35×3=105,
∴BQ的长为135-105=30;
(2)如图1,若PQ∥DC,又AD∥BC,则四边形PQCD 为平行四边形,从而PD=QC,由QC=3t,BA+AP=5t 得50+75-5t=3t,解得t=,
经检验,当t=时,有PQ∥DC;
(3)①当点E在CD上运动时,如图2,
分别过点A、D 作AF⊥BC于点F,DH⊥BC于点H,则四边形 ADHF为矩形,且△ABF≌△DCH,从而 FH= AD=75,于是BF=CH=30,
∴DH=AF=40,
又QC=3t,从而QE=QC·tanC=3t·=4t。(注:用相似三角形求解亦可)
∴S=S⊿QCE=QE·QC=6t2;
②当点E在DA上运动时,如图1,
过点D作DH⊥BC于点H,由①知DH=40,CH=30,又QC=3t,从而ED=QH=QC-CH=3t-30,
∴S= S梯形QCDE=(ED+QC)DH =120 t-600;
(4)△PQE能成为直角三角形,
当△PQE为直角三角形时,t的取值范围是0<t≤25且t≠或t=35,
①当点P在BA(包括点A)上,即0<t≤10时,如图2,
过点P作PG⊥BC于点G ,则PG=PB·sinB=4t,又有QE=4t = PG,易得四边形PGQE为矩形,此时△PQE总能成为直角三角形,
②当点P、E都在AD(不包括点A但包括点D)上,即10<t≤25时,如图1,
由QK⊥BC和AD∥BC可知,此时,△PQE为直角三角形,但点P、E不能重合,
即5t-50+3t-30≠75,解得t≠,
③当点P在DC上(不包括点D但包括点C),即25<t≤35时,如图3,
由ED>25×3-30=45,可知,点P在以QE=40为直径的圆的外部,故∠EPQ不会是直角,
由∠PEQ<∠DEQ,可知∠PEQ一定是锐角,对于∠PQE,∠PQE≤∠CQE,只有当点P与C 重合,即t=35时,如图4,∠PQE=90°,△PQE 为直角三角形,
综上所述,当△PQE为直角三角形时,t的取值范围是0<t≤25且t≠或t=35。
图1
图2
图3
图4
(2)求距离桥面中心点28米处垂直支架的长度。
(2)当3<x<6时,求S关于x的函数关系式;
(3)当6<x<9时,求S关于x的函数关系式;
(4)当x为何值时,△ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切?
(2)设直线BC与y轴交于P点,点C是BP的中点时,求直线BP和抛物线的解析式。
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标。
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