题目

题型：同步题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为y=－x+2，并且线段CM的长为2 
 (1)求抛物线的解析式； 
 (2)设抛物线与x轴有两个交点A(x₁，0)、B(x₂，0)，且x₂ >x₁，求线段AB的长；  
 (3)若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由．

答案

解：(1)由题意得C(0，2)，
设点M的坐标为(x，y)． 
 ∵点M在直线y=－x+2上，
∴y=－x+2．由勾股定  理得CM=，即＝
∴  得＝，
∴=2，
∴x=±2即y=4或0．
∴M(－2，4)或M(2，0)． 
 当M为(－2，4)时，抛物线解析式为  y=－  
 当M为(2，0)时，抛物线解析式为y=． 
 ∴所求抛物线为y=－或y=． 
 (2)AB= =4 
 (3)∵AB是ON的直径，
 ∴r=2，N(－2，0)．
 又∵M（-2，4），
∴MN=4．
设直线y=－x+2与x轴交  于点D，则D(2，0)，
∴DN=4，可得MN= DN, 
 ∴∠MDN= 45作NG⊥CM于G，
在Rt△NGD中，NG=DN    sin45=2=r．
即圆心到直线CM的距离等于 ⊙N的半径．
直线CM与⊙N相切．