题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

答案

解：（1）把点A（3，6）代入y=kx得；
∴6=3k，
∴k=2，
∴y=2x．
OA=．
（2）是一个定值，理由如下：如图1，
过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时；
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN，
∴，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．
（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，
过点A作AR⊥x轴于点R
∴∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴，
∴OF=，
∴点F（，0），
设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，
则△AKB∽△ARF，
∴，即，
解得x₁=6，x₂=3（舍去），
∴点B（6，2），
∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，
∴AB=5       
（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k=，b=10，∴，
∴，
∴（舍去），，
∴B（6，2），
∴AB=5
（其它方法求出AB的长酌情给分）
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∴∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．
设OE=x，则AE=﹣x （），
由△ABE∽△OED得，
∴
∴（）
∴顶点为（，）
如图3，当时，OE=x=，
此时E点有1个；当时，
任取一个m的值都对应着两个x值，
此时E点有2个
∴当时，E点只有1个
当时，E点有2个.