题目
题型:浙江省中考真题难度:来源:
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
答案
∴,
解得a=,b=,
∴抛物线解析式为y=x2+x.
(2)设点P的横坐标为t,∵PN∥CD,
∴△OPN∽△OCD,可得PN=
∴P(t,),
∵点M在抛物线上,∴M(t,t2+t).
如图①,过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H,
AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2﹣t+2,
BH=PN=.
当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形,
∴t2﹣t+2=,化简得3t2﹣8t+4=0,
解得t1=2(不合题意,舍去),t2=,
∴点P的坐标为(,)
∴存在点P(,),使得四边形ABPM为等腰梯形.
(3)如图②,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x轴于T,交OC于Q,A′O′交x轴于K,交OC于R.
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3,可设点A′的横坐标为a,
则点A′(a,﹣a+3),易知△OQT∽△OCD,
可得QT=,∴点Q的坐标为(a,).
解法一:设AB与OC相交于点J,
∵△ARQ∽△AOJ,相似三角形对应高的比等于相似比,
∴=∴HT===2﹣a,KT=A′T=(3﹣a),
A′Q=yA′﹣yQ=(﹣a+3)﹣=3﹣a.
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT?A′T﹣A′Q?HT
=(3﹣a)﹣(3﹣a)(﹣a+2)
=a2+a﹣=(a﹣)2+由于<0,
∴在线段AC上存在点A′(,),
能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为.
解法二:过点R作RH⊥x轴于H,则由△ORH∽△OCD,
得 ①由△RKH∽△A′O′B′,得 ②
由①,②得KH=OH,OK=OH,KT=OT﹣OK=a﹣OH
③由△A′KT∽△A′O′B′,得,则KT= ④
由③,④得=a﹣OH,即OH=2a﹣2,RH=a﹣1,
所以点R的坐标为R(2a﹣2,a﹣1)
S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=OT?QT﹣OK?RH=a?a﹣(1+a﹣)(a﹣1)
=a2+a﹣=(a﹣)2+由于<0,
∴在线段AC上存在点A′(,),
能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为.
解法三:∵AB=2,OB=1,
∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=,
∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=(﹣a+3)=a+,
∴OK=OT﹣KT=a﹣(a+)=a﹣,
过点R作RH⊥x轴于H,
∵tan∠OAB=tan∠RKH==2,
∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH===,
∴2RH=OK+KH=a﹣+RH,
∴RH=a﹣1,OH=2(a﹣1),
∴点R坐标R(2a﹣2,a﹣1)S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT?A′T﹣A′Q(xQ﹣xR)=(3﹣a)﹣(3﹣a)(﹣a+2)
=a2+a﹣=(a﹣)2+由于<0,
∴在线段AC上存在点A′(,),
能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为.
① ②
核心考点
试题【如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由。
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子,若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。
(1)求A点坐标及线段AB的长;
(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动,1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO,OC,CB边向点B移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点P的移动时间为t秒。①当PQ⊥AC时,求t的值;②当PQ∥AC时,对于抛物线对称轴上一点H,∠HOQ>∠POQ,求点H的纵坐标的取值范围。
(1)求b、c的值;
(2)求这个函数的图象与x轴的交点C的坐标;
(3)求S△ABC的值。
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