题目

题型：贵州省中考真题难度：来源：

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm²），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

答案

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
∵PQ∥BC，
∴，即，解得t=，
∵当t=s时，PQ∥BC．
（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t．
S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t²+6t=﹣（t﹣）²+，
∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm²．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S_△AQP=S_△ABC，而S_△ABC=ACBC=24，∴此时S_△AQP=12．
由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，
∴﹣t²+6t=12，化简得：t²﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）²﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴，即，
解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，
∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8﹣t）²+（6﹣t）²=（2t）²，
化简得：13t²﹣90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=，
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．
由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t
∴S_{菱形AQPQ′}=2S_△AQP=2×（﹣t²+6t）=2×[﹣×（）²+6×]=cm²．
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm²．