题目

题型：云南省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线的图象过点E(-1,0)，并与直线相交于A、B两点.
求抛物线的解析式（关系式）；
过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 

答案

解： 如右图1，
因为一次函数交轴于点
所以，
，即，
.又，一次函数交轴于点，
所以，，
，即，
由、    .是抛物线 的图象上的点，
，                        
 所以，抛物线的解析式是：
 如右图， 、
∴ 在中          
 ，
∴点的坐标：            
设除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形 ，
.在中，若 .那么是以为直径的圆与坐标轴的交点，  
.若交点在轴上（如右图2），          
设.则有
，
 ，此时         
  . 若交点在上（如图3），设  ,  此时过作 垂直于于点,
则有△AOM∽△AOM,
于是
，
，
此时，         或                  
 在  中, 若,（如图4）设，同样过作垂直于点，则在中，
有

此时，
综上所述，除点外，在坐标轴上还存在点 ，使得  是直角三角形，满足条件的点的坐标是： 、或、或、或，共四个点

 

                          图1

 

                             图2

 

                              图3

 

                               图4