题目

题型：竞赛题难度：来源：

已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．

答案

解：∵抛物线中，
a′=﹣，b′=b，c′=c，
∴点P的横坐标为：﹣=3b，纵坐标为：=b²+c，
∴点P的坐标为，
令x=0，则y=c，
∴点C（0，c），
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为（3b，m）．
显然，x₁，x₂是一元二次方程的两根，
∴，，
又∵AB的中点E的坐标为（3b，0），
∴AE=．
∵PA为⊙D的切线，
∴PA⊥AD，
又∵AE⊥PD，
∴由射影定理可得 AE²=PEDE，即，
又易知m＜0，
∴可得m=﹣6，
又∵DA=DC得 DA²=DC²，即，
把m=﹣6代入后可解得c=﹣6（另一解c=0舍去）．
又∵AM∥BC，
∴，即．…
把c=﹣6代入，解得，（另一解舍去）．
∴抛物线的解析式为．