题目

题型：四川省期末题难度：来源：

设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点是F₁（﹣c，0），F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直．
①求椭圆离心率e的取值范围；
②若直线PF₁与椭圆另一个交点为Q，当，且△PQF₂的面积为12时，求椭圆方程。

答案

解：①由△F₁PF₂是直角三角形知，|OP|=c≥b，
即c²≥a²﹣c²，故
②设椭圆方程为，
由得：a²=2c²，b²=c²，
于是椭圆方程可化为：x²+2y²﹣2c²=0①
直线PQ的斜率k=1，
设直线PQ的方程为：y=x+c②，
把①代入②，得：x²+2（x+c）²﹣2c²=0，
整理得：3x²+4cx=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是上述方程的两根，
且，．
点F₂到PQ直线的距离为，
所以：==12  
得：c²=9=b²，a²=18．
所以所求椭圆方程为：．