题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60度．
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
（2）若点C的坐标为（﹣1，0），试猜想过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．

答案

解：（1）连接AD，则∠ADO=∠B=60°，
在Rt△ADO中，∠ADO=60°，
所以OD=OA÷=3÷=，
所以D点的坐标是（0，）；
（2）猜想：CD与圆相切，
∵∠AOD是直角，
∴AD是圆的直径，又∵tan∠CDO===，∠CDO=30°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°，即CD⊥AD，
∴CD切外接圆于点D；
（3）依题意可设二次函数的解析式为：y=α（x﹣0）（x﹣3），
由此得顶点坐标的横坐标为：x==；
即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，
则得∠EFA=∠B=30°，
即得到EF=EA=可得一个顶点坐标为（，），
同理可得另一个顶点坐标为（，），
分别将两顶点代入y=α（x﹣0）（x﹣3）
可解得α的值分别为，，
则得到二次函数的解析式是y=x（x﹣3）或y=x（x﹣3）．