题目
题型:浙江省月考题难度:来源:
(1)求m的值;
(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△ABC是等腰直角三角形;
(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C",且与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点,如图.请在抛物线C"上求点P,使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.
答案
∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣1)=0,
解得,m=2;
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1,易得顶点B(1,0),
当x=0时,y=1,得A(0,1).
由1=x2﹣2x+1,解得,x=0(舍)或x=2,
所以C点坐标为:(2,1).
过C作x轴的垂线,垂足为D,则CD=1,BD=xD﹣xB=1.
∴在Rt△CDB中,∠CBD=45°,BC=.
同理,在Rt△AOB中,AO=OB=1,于是∠ABO=45°,AB=.
∴∠ABC=180°﹣∠CBD﹣∠ABO=90°,AB=BC,
因此△ABC是等腰直角三角形;
(3)由题知,抛物线C"的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
当x=0时,y=﹣3;
当y=0时,x=﹣1或x=3,
∴E(﹣1,0),F(0,﹣3),即OE=1,OF=3.
第一种情况:若以E点为直角顶点,
设此时满足条件的点为P1(x1,y1),作P1M⊥x轴于M.
∴∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°,
∴∠P1EM=∠EFO,
得Rt△EFO∽Rt△P1EM,
则,即EM=3P1M.
∵EM=x1+1,P1M=y1,
∴x1+1=3y1①
由于P1(x1,y1)在抛物线C"上,则有3(x12﹣2x1﹣3)=x1+1,
整理得,3x12﹣7x1﹣10=0,
解得,x1=﹣1(舍)或.
把代入①中可解得,y1=.
∴P1(,).
第二种情况:若以F点为直角顶点,
设此时满足条件的点为P2(x2,y2),作P2N⊥与y轴于N.
同第一种情况,易知Rt△EFO∽Rt△FP2N,得,即P2N=3FN.
∵P2N=x2,FN=3+y2,
∴x2=3(3+y2)②
由于P2(x2,y2)在抛物线C"上,则有x2=3(3+x22﹣2x2﹣3),
整理得3x22﹣7x2=0,
解得x2=0(舍)或.
把代入②中可解得,.
∴P2(,).
综上所述,满足条件的P点的坐标为:(,)或(,).
核心考点
试题【已知抛物线y=x2﹣2x+m﹣1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B.(1)求m的值;(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△A】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线y=2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆.过原点O作O1的切线OP,P为切点(P与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)如果抛物线上有点D,使S△OBD=S△OAC,求点D的坐标.
(1)求抛物线的解析式;
(2)请问(1)中的抛物线经过顶点坐标为 ( ),把(1)中的抛物线向( )平移( )y=ax2+1的图象,再把y=ax2+1的图象向( ) 平移( )y=ax2的图象?
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