题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，∴，解得a=，b=，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x²+x+3；
其对称轴为：x=﹣=1．
（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，
可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点．
如答图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA+MB=MA+MC=AC，
根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴A（4，0），C（0，3），∴，解得k=，b=3，
∴直线AC的解析式为：y=x+3，令x=1，得y=，
∴M点坐标为（1，）．
（3）结论：存在．如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP₁，此时梯形为AB∥CP₁．由B（2，3），C（0，3），
可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P₁即为所求．
抛物线解析式为：y=x²+x+3，令y=0，
解得x₁=﹣2，x₂=4，
P1（﹣2，0）．P₁A=6，BC=2，P₁A∥BC，∴四边形ABCP₁为梯形；
②若AB∥CP₂，此时梯形为ABCP₂．设CP₂与x轴交于点N，
∴BC∥x轴，AB∥CP₂，
∴四边形ABCN为平行四边形，
∴AN=BC=2，N（2，0）．设直线CN的解析式为y=kx+b，
则有：，解得k=，b=3，
∴直线CN的解析式为：y=x+3．
点P₂既在直线CN：y=x+3上，
又在抛物线：y=x²+x+3上，
x+3=x²+x+3，化简得：x²﹣6x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴点P₂横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为﹣6，
∴P2（6，﹣6）．
∵□ABCN，
AB=CN，而CP₂∥CN，
∴CP₂∥AB，∴四边形ABCP₂为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P，
使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；
点P的坐标为（﹣2，0）或（6，﹣6）．