题目

题型：甘肃省中考真题难度：来源：

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3，
∴C点坐标为（，3）；
（2）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（，3）、
A（2，0）两点，
∴，解得：；
∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x²+2x；
（3）存在．
因为y=﹣x²+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，
MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=t，
∴P（t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E，
把x=t代入y=﹣x²+2x，得y=﹣3t²+6t，
∴M（t，﹣3t²+6t），E（，﹣3t²+6t），
同理：Q（，t），D（，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
即3﹣（﹣3t²+6t）=t﹣1，解得：t=，t=1（舍），
∴P点坐标为（，），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，
此时P点坐标为（，）．