题目

题型：福建省期末题难度：来源：

已知：如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P。
（1）求点P的坐标；
（2）请判断△OPA的形状并说明理由；
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S。
求：①S与t之间的函数关系式；
②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值。

答案

解：（1）由题意可得：，
解得，
所以点P的坐标为（2，）；
（2）将y=0代入y=﹣x+4，﹣x+4=0，
∴x=4，即OA=4，作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，
∵tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∵OP=，
∴△POA是等边三角形；
（3）①当0＜t≤4时，如图，在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=，OF=t，
∴S=，
当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C，
∵CE=PE=t﹣4，AE=8﹣t，
∴AF=4﹣，EF=（8﹣t），
∴OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=，
∴S=（CE+OF）EF=（t﹣4+t）×（8﹣t），
=﹣t²+4t﹣8；
②当0＜t?4时，S=，t=4时，S_最大=2；
当4＜t＜8时，S=﹣t²+4t﹣8=﹣（t﹣）²+，
t=时，S_最大=，
∵＞2，
∴当t=时，S最大，最大值为．