题目

题型：浙江省期中题难度：来源：

如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P。
①求该抛物线的解析式和A点的坐标；
②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；
③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标。

答案

解：①y=﹣x+3，x=0时，y=3，y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x2+bx+c得：，
解得：b=﹣4，c=3，
即抛物线的解析式是：y=x²﹣4x+3，
当y=0时，x²﹣4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
即A的坐标是（1，0）；
②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，﹣1），
由勾股定理得：CB=3，CP=2，BP=，AC=，OC=3，OA=1，
∴===，
∴△BCP∽△OCA；
③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴点Q只能在点B的左侧，若，
即
可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴点Q坐标为（0，0）；
若，即，
解得BQ=，点Q的坐标为（，0）。