题目

题型：不详难度：来源：

小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

答案

（1）由题意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x²+700x-10000，即w=-10x²+700x-10000（20≤x≤32）

（2）对于函数w=-10x²+700x-10000的图象的对称轴是直线x=-

700

2×(-10)

=35．
又∵a=-10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，
∴当x=32时，W=2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．

（3）取W=2000得，-10x²+700x-10000=2000
解这个方程得：x₁=30，x₂=40．
∵a=-10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000
∵k=-200＜0，
∴P随x的增大而减小．
∴当x=32时，P的值最小，P_最小值=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．