题目

题型：不详难度：来源：

关于x的二次函数y=2sinax2-(4sina+

1

2

)x-sina+

1

2

，其中a为锐角，则：
①当a为30°时，函数有最小值-

25

16

；
②函数图象与坐标轴可能有三个交点，并且当a为45°时，连接这三个交点所围成的三角形面积小于1；
③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；
④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．
其中正确的结论有（　　）

A．①②

B．①②③

C．①②④

D．②③④

答案

①当a=30°时，sina=

1

2

，二次函数解析式可写作：y=x²-

5

2

x=（x-

5

4

）²-

25

16

；
所以当a为30°时，函数的最小值为-

25

16

；故①正确．
②令y=0，则有：2sinax²-（4sina+

1

2

）x-sina+

1

2

=0，
△=（4sina+

1

2

）²-4×2sina×（-sina+

1

2

）=24sin²a+

1

4

＞0，
所以抛物线与x轴一定有两个交点，再加上抛物线与y轴的交点，即与坐标轴可能有三个交点（当图象过原点时，只有两个交点）；
设抛物线与x轴的交点为（x₁，0）、（x₂，0）；
当a=45°时，sina=

2

2

，得：y=

2

x²-（2

2

+

1

2

）x-

2 -1

2

，则：
三角形的面积 S=

1

2

|x₁-x₂|×

2 -1

2

=

2 -1

4

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 -1

4

×

( 2 2 + 1 2 2 )2-4× - 2 -1 2 2

≈0.3＜1
故②正确．
③∵2sina＞0，且对称轴x=-

b

2a

=1+

1

8sina

＞1，
∴x=1在抛物线对称轴的左侧，因此 x＞1时，y随x的增大先减小后增大；
故③错误．
④y=2sinax²-（4sina+

1

2

）x-sina+

1

2

=sina（2x²-4x-1）-

1

2

x+

1

2

；
当2x²-4x-1=0，即 x=1±

6

2

时，抛物线经过定点，且坐标为：（1+

6

2

，-

6

4

）、（1-

6

2

，

6

4

）；
故④正确．
综上，正确的选项是①②④，故选C．