题目

题型：宣武区难度：来源：

已知：⊙O的面积为4π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是三角形三个内角∠A、∠B、∠C的对边的长，关于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有两个相等的实数根，cosA，cosB是二次函数y=[m-（

3

-1）]x²-[m+（

3

-1）]x+

3

的图象与x轴的两个交点的横坐标．求△ABC三边的长．

答案

∵关于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有两个相等的实数根，
∴（-2b）²-4（a+c）（c-a）=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB．
∵cosA，cosB是二次函数y=[m-（

3

-1）]x²-[m+（

3

-1）]x+

3

的图象与x轴的两个交点的横坐标，
∴sinA、cosA是关于x的方程[m-（

3

-1）]x²-[m+（

3

-1）]x+

3

=0的两个根，
∴

sinA+cosA= m+ 3 -1 m- 3 +1 sinA•cosA= 3 m- 3 +1

，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（

m+ 3 -1

m- 3 +1

）²-2×

3

m- 3 +1

=1，
整理，得（4-2

3

）m=6-2

3

，
解得m=3+

3

，
经检验，m=3+

3

是原方程的根，
当m=3+

3

时，原方程变为4x²-（2+2

3

）x+

3

=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
∵△ABC的外接圆面积为4π，
∴外接圆半径R=2，
∴斜边c=4．
∴另外两直角边为2，2

3

．