题目

题型：黄石难度：来源：

已知二次函数y₁=x²-（k+2）x+2，y₂=x²-kx-2k+2，
（1）若二次函数y₁=x²-（k+2）x+2与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，△ABC的面积S=2

2

，求y₁的解析式．
（2）不论k为何值时，二次函数y₂=x²-kx-2k+2的图象都过定点，求这个定点坐标；若经过定点和原点的直线与y₂中某个二次函数图象相切时，求这个二次函数y₂的解析式．
（3）若二次函数y₁=x²-（k+2）x+2与x轴的交点为（x₁，0）、（x₂，0），且x₁＜x₂，二次函数y₂=x²-kx-2k+2与x轴的交点为（x₃，O）、（x₄，0），且x₃＜x₄，当这四个交点相间排列（即x₁＜x₃＜x₂＜x₄或x₃＜x₁＜x₄＜x₂）时，求k的取值范围．

答案

（1）令x=0得），y_l=2
∴A（0，2），设B（x₁，0）、C（x₂，0）
|BC|=

(k+2)2-8

S_△ABC=

1

2

|BC|•|OA|=2

2

，k₁=2，k₂=-6
y₁=x²-4x+2或y"₁=x²+4x+2
∵△₁=8＞O
∴y₁的解析式为y₁=x²-4x+2或y"₁=x²+4x+2

（2）令k=0得y₂=x²+2①
k=l得y₂=x²-x②
解由①②组成的方程组得x=-2y=6满足y₂的表达式、顶点为P（-2，6）
或由k（x-2）+y-x²-2=0
得x-2=0，y=x²+2顶点P为（-2，6）
经过点P（-2，6）与原点0（0，O）的直线y=-3x
把y₂=-3x代入y₂=x²-kx-2k+2得x²+（3-k）x-2k+2=0
△=（3-k）²-4（2-2k）=k²+2k+l=0
∴k=-1，∴y₂=x²+x+4

（3）x²-（k+2）x+2=x²-kx-2k+2得x=k
把x=k代入y=x²-kx-2k+2得y=2-2k
∵y_l、y₂的图象开口向上，开口大小一样且对称轴不同
∴y_l、y₂的图象交点在x轴下方，即y＜0时，满足题设条件
∴2-2k＜0
∴k的取值范围为k＞l．