题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线解析式并判断点B是否在抛物线上;
(2)如图②,判断直线AE与正方形AOBC的外接圆的位置关系,并说明理由;
(3)若在抛物线上有点P,在抛物线的对称轴上有点Q,使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点P的坐标.
答案
∵以D(0,1)为旋转中心,将DB逆时针旋转90°,得到线段DE,
∴∠BDE=90°,DE=DB,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
∴△DEF≌△BDO(AAS),
∴EF=DO=1,FD=OB=3,
∴E(1,4).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
把A(0,3)代入上式,得
3=a(0-1)2+4,解得a=-1,
∴y=-(x-1)2+4.
当x=3时,y=-(3-1)2+4=0,
∴点B(3,0)在抛物线上;
(2)直线AE与圆相切.理由如下:
如图②,连接AB,则AB为圆的直径,
在正方形AOBC中,∠OAB=45°,
由(1)知,EF=1,FA=OF-OA=4-3=1,
∴在Rt△EFA中,∠FAE=45°,
∴∠EAB=180°-∠OAB-∠FAE=90°,
∴直径AB⊥AE,
∴直线AE与圆相切;
(3)①当OB为边时,如图③,
∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,
∴PQ∥OB,且PQ=OB=3.
∵点Q在对称轴x=1上,
∴点P的横坐标为-2或4.
当x=-2时,y=-(-2-1)2+4=-5;
当x=4时,y=-(4-1)2+4=-5.
即符合条件的点P有两个,P1(-2,-5),P2(4,-5);
②当OB为对角线时,如图④,
∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,
∴PQ与OB互相平分.
又点Q在对称轴x=1上,且线段OB的中点横坐标为
3 |
2 |
∴点P的横坐标为2,
当x=2时,y=-(2-1)2+4=3,
即符合条件的点P只有一个,即P3(2,3),
综上所述,符合条件的点P共有三个,即P1(-2,-5),P2(4,-5),P3(2,3).
核心考点
试题【如图①,已知正方形AOBC的边长为3,A、B两点分别在y轴和x轴的正半轴上,以D(0,1)为旋转中心,将DB逆时针旋转90°,得到线段DE,抛物线以点E为顶点,】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在以AB为直径的圆上,求点C的坐标;
(3)将点A绕C点逆时针旋转90°得到点D,当点D在抛物线上时,求出所有满足条件的点C的坐标.
1 |
2 |
3 |
2 |
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使∠APB为锐角?若存在,求出P点的横坐标的范围;若不存在,请说明理由.
(1)求该款汽车的进价和标价分别是多少万元?
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40 |
3 |
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时间t为何值时,四边形POQE是等腰梯形?
(3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?
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