题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx+n过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连接CO、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△OEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）依题意，得

n=0 8+4m+n=2

，解得

m=- 3 2 n=0

，
所以，抛物线解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x，把y=2代入，得x₁=4，x₂=-1，
所以，C（-1，2）；

（2）点E落在抛物线上．理由如下：
∵BC=1，OB=2，∠OBC=90°，
由旋转、轴对称的性质知：EF=1，OF=2，∠OFE=90°，
∴点E点的坐标为（2，-1），
当x=2时，y=

1

2

×4-

3

2

×2=-1，∴点E落在抛物线上；

（3）存在点P（a，0）．如图记S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP=S₂，
S_梯形AOCD=

1

2

（AO+CD）×2=3+5=8，
当PQ经过点F（2，0）时，易求S₁=5，S₂=3，此时S₁：S₂不符合条件，故a≠3．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），将E（2，-1），P（a，0）代入，
得

2k+b=-1 ak+b=0

，解得

k= 1 a-2 b=- a a-2

，
∴y=

1

a-2

x-

a

a-2

，
由y=2得x=3a-4，∴Q（3a-4，2）
∴CQ=（3a-4）-（-1）=3a-3，PO=a，
S₁=

1

2

（3a-3+a）×2=4a-3，
下面分两种情形：①当S₁：S₂=1：3时，S₁=

1

4

S_梯形AOCD=

1

4

×8=2；
∴4a-3=2，解得a=

5

4

；
②当S₁：S₂=3：1时，S₁=

3

4

S_梯形AOCD=

3

4

×8=6；
∴4a-3=6，解得a=

9

4

；
综上所述：所求点P的坐标为（

5

4

，0）或（

9

4

，0）．