题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（

5

2

，

13

4

），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+1
∵A(

5

2

，

13

4

)在抛物线上
∴

13

4

=a（

5

2

-1）²+1
∴a=1
∴二次函数解析式为y=（x-1）²+1（或y=x²-2x+2）
令x=0得：y=2
即B（0，2）在y=kx+m上
∴m=2
把(

5

2

，

13

4

)代入y=kx+2，
得k=

1

2

；

（2）h=

1

2

x+2-（x-1）²-1
=-x²+

5

2

x（0＜x＜

5

2

）；

（3）假设存在点P，①当∠PED=∠BOF=90°时，由题意可得△PED∽△BOF
则

-x2+ 5 2 x

2

=

x-1

4

∴x=

2± 6

2

，
∵0＜x＜

5

2

，
∴x=

2- 6

2

（舍去）
而x=

2+ 6

2

＜

5

2

∴存在点P，其坐标为(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)
②当∠PDE=∠BOF=90°时，
过点E作EK垂直于抛物线的对称轴，垂足为K．
由题意可得：△PDE∽△EKD，△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
则

5 2 -(x2-2x+2)

4

=

x-1

2

∴x=±

10

2

．
∵0＜x＜

5

2

，x=-

10

2

舍去
而x=

10

2

＜

5

2

，
∴存在点P，其坐标为(

10

2

，

8+ 10

4

)
综上所述存在点P满足条件，其坐标为
(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)，(

10

2

，

8+ 10

4

)．