题目
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),点B在x轴上,且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线,分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线OC交BD于点M,直线CD交y轴于点H,记点C、D的横坐标分别为xC、xD,点H的纵坐标为yH.
同学发现两个结论:
①S△CMD:S梯形ABMC=2:3 ②数值相等关系:xC•xD=-yH
(1)请你验证结论①和结论②成立;
(2)请你研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t>0)”,其他条件不变,结论①是否仍成立(请说明理由);
(3)进一步研究:如果上述框中的条件“A的坐标(1,0)”改为“A的坐标(t,0)(t>0)”,又将条件“y=x2”改为“y=ax2(a>0)”,其他条件不变,那么xC、xD与yH有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由)
答案
由点C坐标为(1,1)易得直线OC的函数解析式为y=x,
故点M的坐标为(2,2),
所以S△CMD=1,S梯形ABMC=
3 |
2 |
所以S△CMD:S梯形ABMC=2:3,
即结论①成立.
设直线CD的函数解析式为y=kx+b,
则
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解得
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所以直线CD的函数解析式为y=3x-2.
由上述可得,点H的坐标为(0,-2),yH=-2
因为xC•xD=2,
所以xC•xD=-yH,
即结论②成立;
(2)(1)的结论仍然成立.
理由:当A的坐标(t,0)(t>0)时,点B的坐标为(2t,0),点C坐标为(t,t2),点D的坐标为(2t,4t2),
由点C坐标为(t,t2)易得直线OC的函数解析式为y=tx,
故点M的坐标为(2t,2t2),
所以S△CMD=t3,S梯形ABMC=
3 |
2 |
所以S△CMD:S梯形ABMC=2:3,
即结论①成立.
设直线CD的函数解析式为y=kx+b,
则
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解得
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所以直线CD的函数解析式为y=3tx-2t2;
由上述可得,点H的坐标为(0,-2t2),yH=-2t2
因为xC•xD=2t2,
所以xC•xD=-yH,
即结论②成立;
(3)由题意,当二次函数的解析式为y=ax2(a>0),且点A坐标为(t,0)(t>0)时,点C坐标为(t,at2),点D坐标为(2t,4at2),
设直线CD的解析式为y=kx+b,
则:
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解得
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所以直线CD的函数解析式为y=3atx-2at2,则点H的坐标为(0,-2at2),yH=-2at2.
因为xC•xD=2t2,
所以xC•xD=-
1 |
a |
核心考点
试题【数学课上,老师提出:如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),点B在x轴上,且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线,分别交二次】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求一次函数的解析式;
(2)设二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=n(n<0),n是方程2x2-3x-2=0的一个根,求二次函数的解析式;
(3)在(2)条件下,设二次函数交y轴于点D,在x轴上有一点C,使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似.试求出C点的坐标.
1 |
2 |
(1)请直接写出点C,D的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒
5 |
(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积.
①求该函数的关系式;
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
③将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△OA′B′的面积.
(1)求直线CE的解析式;
(2)求过A、B、C三点的抛物线解析式;
(3)第(2)问中的抛物线的顶点是否在直线CE上,请说明理由;
(4)点F是线段CE上一动点,点F的横坐标为m,问m在什么范围内时,直线FB与⊙P相交?
(1)经过多少时间后,P、Q两点的距离为5
2 |
(2)经过多少时间后,S△PCQ的面积为15cm2?
(3)请用配方法说明,何时△PCQ的面积最大,最大面积是多少?
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