题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中，点C（

3

，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒2

3

个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求出点B的坐标；
（2）当t为何值时，△POQ与△COD相似？
（3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180°，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线y=ax²+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M．由已知，直接写出：①a的取值范围为______；②点M移动的平均速度是______．

答案

（1）由题意得：OD=1，OC=

3

，由勾股定理得：DC=2．
∵BE是DC的中垂线，
∴DE=1，∠DEB=90°．
在△DEB与△DOC中，

∠BED=∠COD=90° DE=DO ∠EDB=∠ODC

，
∴△DEB≌△DOC（ASA），
∴BD=DC=2，
∴BO=1，
∴B（0，-1）；

（2）分两种情况：
①当点P在x轴的正半轴上时，
由已知得，CP=2

3

t，OP=CO-CP=

3

-2

3

t，OQ=t．
由题意得：

OP

OD

=

OQ

OC

或

OP

OC

=

OQ

OD

，
即：

3 -2 3 t

1

=

t

3

或

3 -2 3 t

3

=

t

1

，
解得t=

3

7

或t=

1

3

；
②当点P在x轴的负半轴上时，
由题意得：

OP

OD

=

OQ

OC

或

OP

OC

=

OQ

OD

，
即：

2 3 t- 3

1

=

t

3

或

2 3 t- 3

3

=

t

1

，
解得t=

3

5

或t=1．
综上所述：当t=

3

7

或t=

1

3

或t=

3

5

或t=1时，△POQ与△COD相似；

（3）S=S_△PQB+S_△EQB=

1

2

(1+t)(2

3

t-

3

)+

1

2

(1+t)

3

2

=

3

t2+

3 3

4

t-

3

4

，
即S关于t的函数关系式为：S=

3

t2+

3 3

4

t-

3

4

，
∵点P在x轴负半轴上，
∴t＞

1

2

，
又∵当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，而点Q运动时间为1秒，
∴t≤1，
∴自变量t的取值范围为：

1

2

＜t≤1；

（4）①当P"Q"与BE有公共点时，初始位置点P′与点A重合，A为BE与x轴的交点．
由已知得，OA=

3

3

，OP′=OP=2

3

t-

3

，
∴2

3

t-

3

=

3

3

，
∴t=

2

3

，
终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时t=1，
∴

2

3

≤t≤1．
设P"Q"的中点为F，当t=

2

3

时，F1(

3

6

，-

1

3

)．
把(

3

6

，-

1

3

)代入y=ax²+1，得：a=-16．
当t=1时，F2(

3

2

，-

1

2

)，
把(

3

2

，-

1

2

)代入y=ax²+1，得：a=-2，
∴a的取值范围为：-16≤a≤-2；
②初始位置的抛物线为y=-16x²+1，此时M1(

1

4

，0)，
终止位置的抛物线为y=-2x²+1，此时M2(

2

2

，0)，
∴M1M2=

2

2

-

1

4

，
∵移动的时间为

1

3

秒，
∴点M移动的平均速度为每秒(

3 2

2

-

3

4

)个单位．
故答案为-16≤a≤-2；每秒(

3 2

2

-

3

4

)个单位．