题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+1与抛物线y=ax²+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）由

1

2

x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由

1

2

x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax²+bx-3经过A、B两点，
∴

(-2)2•a-2b-3=0 42•a+4b-3=3

∴

a= 1 2 b=- 1 2

，
则抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

1

2

x-3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO=

OA

AE

=

2

5

=

2 5

5

．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

1

2

x-3．则点P（m，

1

2

m²-

1

2

m-3）．
已知直线AB：y=

1

2

x+1，则点C（m，

1

2

m+1）．
∴PC=

1

2

m+1-（

1

2

m²-

1

2

m-3）=-

1

2

m²+m+4=-

1

2

（m-1）²+

9

2

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-

1

2

（m-1）²+

9

2

]•

2 5

5

=-

5

5

（m-1）²+

9 5

5

∴PD长的最大值为：

9 5

5

．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=

2 5

5

，
∴cos∠ACP=

1

5

，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=

DF

DP

=

1

5

，
在Rt△PDF中，DF=

1

5

PD=-

1

5

（m²-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴

S△PCD

S△PBC

=

DF

BG

=

- 1 5 (m2-2m-8)

4-m

=

1 5 (m-4)(m+2)

m-4

=

m+2

5

．
当

S△PCD

S△PBC

=

m+2

5

=

9

10

时，解得m=

5

2

；
当

S△PCD

S△PBC

=

m+2

5

=

10

9

时，解得m=

32

9

．