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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-
2
3
x2+bx+c经过A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三点,且x2-x1=5.
(1)求b、c的值;
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形;若不存在,请说明理由.
答案
(1)解法一:∵抛物线y=-
2
3
x2+bx+c经过点A(0,-4),
∴c=-4
又∵由题意可知,x1、x2是方程-
2
3
x2+bx+c=0的两个根,
∴x1+x2=
3
2
b,x1x2=-
3
2
c
由已知得(x2-x12=25
又∵(x2-x12=(x2+x12-4x1x2
=
9
4
b2-24
9
4
b2-24=25
解得b=±
14
3

当b=
14
3
时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去.
∴b=-
14
3

解法二:∵x1、x2是方程-
2
3
x2+bx+c=0的两个根,
即方程2x2-3bx+12=0的两个根.
∴x=
3b±


9b2-96
4

∴x2-x1=


9b2-96
2
=5,
解得b=±
14
3

当b=
14
3
时,抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上,不合题意,舍去.
∴b=-
14
3


(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质,点D必在抛物线的对称轴上,
又∵y=-
2
3
x2-
14
3
x-4=-
2
3
(x+
7
2
2+
25
6

∴抛物线的顶点(-
7
2
25
6
)即为所求的点D.

(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形,点B的坐标为(-6,0),根据菱形的性质,点P必是直线x=-3与
抛物线y=-
2
3
x2-
14
3
x-4的交点,
∴当x=-3时,y=-
2
3
×(-3)2-
14
3
×(-3)-4=4,
∴在抛物线上存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形.
四边形BPOH不能成为正方形,因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-23x2+bx+c经过A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三点,且x2-x1=5.(1)求b、c的值;(2)在抛】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1(m为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为Q,抛物线的顶点为P,试求经过O、P、Q三点的圆的圆心O′的坐标;
(3)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C,
①当BC=1时,求矩形ABCD的周长;
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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如图,已知抛物线y=ax2+4ax+t(a>0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP是什么四边形?并证明你的结论;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式.
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已知平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),(4,-2).
(1)请在给出的直角坐标系xOy中画出△ABC,设AC交X轴于点D,连接BD,证明:OD平分∠ADB;
(2)请在x轴上找出点E,使四边形AOCE为平行四边形,写出E点坐标,并证明四边形AOCE是平行四边形;
(3)设经过点B,且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F,求直线FA的解析式.
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一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),其表达式是y=ax2+c的形式.请根据所给的数据求出a,c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.
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已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0).
(1)求点C的坐标;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;
(3)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标.
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