题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

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2

x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC．
（1）求抛物线的解析式（关系式）．
（2）在第一象限外，是否存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S_△BCD：S_△ABC=1：4，并求出此时点D的坐标．

答案

（1）∵抛物线y=-

1

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x2+bx+c经过A（-2，0），C（4，0）两点，
∴

- 1 2 ×(-2)2+b×(-2)+c=0 - 1 2 ×42+b×4+c=0

，
解得

b=1 c=4

．
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+x+4．

（2）在第一象限外存在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似．
当BC为直角边时，
若点B为直角顶点，则点E的坐标为（-8，-4），此时点E不在抛物线上；
若点C为直角顶点，则点E的坐标为（-4，-8），此时点E在抛物线上．

（3）∵S_△ABC=

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×6×4=12，S_△BCD：S_△ABC=1：4，
∴S_△BCD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×12=3．
如图所示，设在直线BC上方的抛物线上，找一点D的坐标为（x，-

1

2

x2+x+4），作DE⊥x轴于点E，则
S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC
=

1

2

×(-

1

2

x2+x+4+4)×x+

1

2

×(4-x)×(-

1

2

x2+x+4)-

1

2

×4×4=3．
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3．
∴点D的坐标为（1，

9

2

）或（3，

5

2

）．