如图，已知二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M，与y轴的交点为A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B．（1 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知二次函数y=

x²+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M，与y轴的交点为A，

过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B．
（1）求点A、B的坐标（用含b、c的式子表示）；
（2）当S_△BMN=4S_△AMN时，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P为x轴上的一个动点，那么是否存在这样的点P，使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）

x2+bx+c(1)

y=x+c(2)

x₁=0，x₂=2-2b
当x₁=0时，y₁=c即A（0，c）
当x₂=2-2b时，y₂=2-2b+c
即B（2-2b，2-2b+c）；

（2）2-2b-3c=0，△=0
得b²-2c=0，
联立③，④得
（6+2）（36-2）=0
∴b₁=-2，b₂=

＞0，而a=

＞0．
∴b＜0．
∴b=-2
当b=-2时，代入④得c=2
∴所求二次函数的解析式为：y=

x²-2x+2；

（3）存在符合条件的点P
P_l（2+2

，0），P₂（0，0），P₃（2-2

，0），P₄（-2，0）．

核心考点

试题【如图，已知二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M，与y轴的交点为A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B．（1】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，抛物线y=

x²-

x+c分别交x轴的负半轴和正半轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），交y轴的负轴于点C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，动点P从点A出发向终点B运动，同时动点Q从点B出发向终点C运动，P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，且当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间是t秒．

（1）试说明OB=2OA；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？

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如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴的右交点为A，顶点D在矩形OABC的边BC上，当y≤0时，x的取值范围是1≤x≤5．
（1）求b，c的值；
（2）直线y=mx+n经过抛物线的顶点D，该直线在矩形OABC内部分割出的三角形的面积记为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

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如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O

、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；
（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

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已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=

x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=

x²改为抛物线y=

x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=

x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

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如图，已知抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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