题目

题型：青海省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 （-1，0），如图所示，B点在抛物线y=x²+x-2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3。
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，
∠BDC=∠COA=90°，∠BCD=∠OAC，BC=AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C点坐标为 （-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点横坐标为-3，
∴B点坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴
解得
∴BC所在直线的函数关系式为；
（3）存在，
∵二次函数解析式为：
∴

∴对称轴为直线x=-，
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P₁，使CP₁⊥AC，
∵BC⊥AC
∵点P₁为直线BC与对轴称直线x=-的交点，
由题意可得：解得：
∴P₁（-，-）
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P₂，使AP₂⊥AC，
则过点A作AP₂∥BC，交对轴称直线x=-于点P₂，
∵CD=OA
∴A（0，2）
由题意得直线AP₂的解析式为：y=-x+2
解得：
∴，
∴P点坐标分别为、。