题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示；抛物线经过点B。
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠DBC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△DBC≌△CAO（AAS）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线经过点B（3，1），
∴1=9a-3a-2，解得a=，
∴抛物线的解析式为；
（3）假设存在点P，使得△ACB是直角三角形：
①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至P₁，使得P₁C=BC，得到等腰三角形ACP₁，
过P₁作P₁M⊥x轴，如图1
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC（AAS），
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1
可求得点P₁（-1，-1），
经检验P₁（-1，-1）在抛物线上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点，且点P在y轴左侧，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，过P₂作P₂N⊥y轴，如图2，
同理可证△AP₂N≌△CAO，
∴P₂N=OA=2，AN=OC=1，
可求得点P₂（-2，1），经检验P₂（-2，1）也在抛物线上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，且点P在y轴右侧，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，过P₃作P₃H⊥轴，如图3，
同理可证△AP₃H≌△CAO，
∴HP₃=OA=2，AH=OC=1，
可求得点P₃（2，3），经检验P₃（2，3）不在抛物线上。
综上所述，符合条件的点有P₁（-1，-1），P₂（-2，1）两点。