题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图1，已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为；矩形的顶点与点重合，分别在轴、轴上，且，．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动．设它们运动的时间为秒（），直线与该抛物线的交点为（如图2所示）．
①当时，判断点是否在直线上，并说明理由；
②设以为顶点的多边形面积为，试问是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）因所求抛物线的顶点的坐标为（2，4），
故可设其关系式为．
又抛物线经过，于是得，
解得．
∴所求函数关系式为，即．
（2）①点不在直线上．
根据抛物线的对称性可知点的坐标为（4，0），
又的坐标为（2，4），设直线的关系式为．
于是得，解得．
所以直线的关系式为．
由已知条件易得，当时，，∴．
∵点的坐标不满足直线的关系式，
∴当时，点不在直线上．
②存在最大值．理由如下：
∵点在轴的非负半轴上，且在抛物线上，
∴，
∴点的坐标分别为、，
∴（），
∴，
∴．
（i）当，即或时，以点为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为，∴．
（ii）当时，以点为顶点的多边形是四边形，
∵，
∴，
其中（），由，，此时．
综上所述，当时，以点为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．
说明：（ii）中的关系式，当和时也适合．

解析

略