题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过 A(0,4)，B（4,0）,C（–1,0）三点.过点A作垂直于y轴的直线l. 在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q .连结AP.
小题1:求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
小题2:是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似.如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
小题3:当点P位于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的右侧.若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式.

答案

小题1:y=-x²+3x+4 
小题2:(-1,0),(,),(3,4),(7, -24)
小题3:y=x+4,  y=-x+4, y=-2x+4

解析

 小题1:解三个未知数，需要至少三个式子，正好给了三个点，分别代入原式得
c=4
16a+4b+c=0
a-b+c=0
解得：
a=-1,b=3,c=4
解析式为
y=" -" x^2+3x+4 x∈R
小题2:(2)设存在点P，若点P横坐标为X，则纵坐标为-X²+3X+4，则AQ=lxl，PQ=l-X²+3X+4-4l
由题意得AQ/PQ=OA/OC=4或AQ/PQ=OC/OA=1/4
即l-X²+3Xl=4lXl或l-X²+3Xl=1/4lXl
解得X1=-1，X2=7；X3=11/4， X4=3
带入得(-1,0),( ,),(3,4),(7, -24)

小题3:即求Q关于直线AP的对称点问题
依然设P点为(x,-x^2+3x+4)
AP直线方程为
Y-(-x^2+3x+4)="(-x+3)(X-x)" (X和x不同，x是坐标值，X是未知量)
则Q点坐标为(x,4)
再设M点坐标为(m,n)
则有两个式子成立
①(n-4)/(m-x)=1/(x-3)  (两直线互相垂直)
②(n+4)/2-(-x^2+3x+4)="(-x+3)[(m+x)/2-x]" (QM的中点在直线AP上)
根据已知条件再分两种情况：
1、假设M点落在y轴上，则m=0
根据①②式求得:
x1=2    x2=4
(解的时候有点复杂，计算有点多)
2、假设M点落在x轴上，则n=0
根据①②式求得:
x3=4     x4=5
则，当x=2,4,5时，M都可以落在坐标轴上
对应的AP直线方程分别是 【直接将x=2,4,5代入到Y-(-x^2+3x+4)=(-x+3)(X-x)】
y-6=x-2
y=-(x-4)
y+6=-2(x-5)
即y=x+4,  y=-x+4, y=-2x+4