题目

题型：不详难度：来源：

如图，面积为39的直角梯形OABC的直角顶点C在轴上，点C坐标为，AB=，点D是AB边上的一点，且AD：BD=2︰3．有一45°的角的顶点E在轴上运动，角的一边过点D，角的另一边与直线OA交于点F(点D、E、F按顺时针排列),连结DF.设CE=，OF=.

（1）求点D的坐标及的度数；
（2）若点E在轴正半轴上运动，求与的函数关系式；
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1） （2）(3) 存在，理由见解析

解析

（1） （1个对2分；2个对3分）    …………………3分
（2）当E在OC上时，如图，
可得∽      ……………………………4分
∴  即…………5分
∴   ……………………6分
当E在C的右侧上时，如图，
可得∽
∴  即 ∴     ……………………7分
(3)当E在OC上时，如图，
若EM=ED，则≌
∴
∴作于点N
∴
若DM=DE，则,如图
作，则≌
∴
∴,
若MD=ME，则,如图
过M作于点N交直线AB于点H，可得≌
设ON=，则MN=, MH=,DH=
由MN=DH得：=，   ∴
当E在C的右侧时，如图，
,,
∴不可能是等腰三角形
当E在O的左侧时，如图，
∴ 只能EM=ED，此时≌
∴
∴∴
综合得：，，
，    …………………………12分
（第一个正确答案得2分，以后每对一个得1分）
（1）根据直角梯形的面积求得B点坐标，通过AD：BD=2︰3，求得点D的坐标，过A作OC的垂线，垂足为G,可求得AG=OG,从而得出的度数
（2）分两种情况讨论，当E在OC上时，当E在C的右侧上时，通过相似三角形可求得与的函数关系式
(3)当E在OC上时，由三种可能：EM=ED、DM=DE、MD=ME；当E在C的右侧时，不可能是等腰三角形，当E在O的左侧时，只能EM=ED时，使得△DEF成为等腰三角形