题目

题型：不详难度：来源：

如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．

小题1:求抛物线的解析式；
小题2:若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
小题3:当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？

答案

小题1:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点B，∴c=2．
由题意，有 解得
∴所求抛物线的解析式为．
小题2:将抛物线的解析式配方，得．
∴抛物线的对称轴为x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．
∴t=6－3t，即t=．

小题3:欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，
即PB=OQ或OB²=PB·QO．
①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．
当OB²=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t²－8t+4=0．
解得．
②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．
当OB²=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t²－8t－4=0．解得．
∵t=<0．故舍去，∴t=．
∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．  

解析

（1）根据AB、OB的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形ABCO是平行四边形，则AB=OC，由此可求出OC的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，进而可求出E、F的坐标；若四边形POQE是等腰梯形，则OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根据这个等量关系即可求出t的值；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：
①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；
每种情况又分为△PBO∽△QOB（此时两者全等），△PBO∽△BOQ两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值．