题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知函数和函数，不论取何值，都取与二者之中的较小值.
小题1:求关于的函数关系式
小题2:现有二次函数，若函数和都随着的增大而减小，求自变
量的取值范围
小题3:在（2）的结论下，若函数和的图象有且只有一个公共点，求的取值范围.

答案

小题1:       ……………………………………….……..2分
（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）
小题2:对函数，当随的增大而减小，
，         ………………………………………..…….3分
又函数的对称轴为直线，            …………………………….……..4分
且，
当时，随的增大而减小，            ………………………….……..5分
                  …………………………………….…………….…..6分
小题3:①若函数与只有一个交点，且交点在范围内.
则，
，
，
得           …………………………….…………….…7分
此时，符合，  ………….…………..….…8分

②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个交点在范围外.则，即，   ………….…9分
方法一：对，当时；当时.
又当时，随的增大而减小，      ……….………10分
若与在内有一个交点，
则当时；当时，
即当时；当时.
也即  解得，        ……….……..…11分
由，得             …………………………..…12分
综上所述，的取值范围是：或.
方法二：由函数与的一个交点在范围内，另一个交点在范围外，可得： 或
解第一个不等式组，可得 即无解；         …….………10分
解第二个不等式组，可得 即，      ….………11分
由，得.          ……………………………..…12分

解析

（1）有题意可知y₁和y₂交于(2,4),当x小于2时，y₁和y₂中y₁较小，当x大于2时，y₁和y₂中y₂较小，当x=2时，y₁=y₂，因此，y₀是关于x的分段函数，当x<2时，y₀=-x+6，当x>2时，y₀=2x
（2）因为对函数，当随的增大而减小，所以y₀="-x+6," 函数的对称轴为直线,且，所以自变量的取值范围
（3）分两种情况讨论：①若函数与只有一个交点，且交点在范围内.；②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个交点在范围外