题目

题型：不详难度：来源：

已知关于的方程.
小题1:求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；
小题2:若为整数，且抛物线与轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式
小题3:若直线与（2）中的抛物线没有交点，求的取值范围.

答案

小题1:分两种情况讨论.
①      当时，方程为　
∴　方程有实数根  -----------------------------1分
②当，则一元二次方程的根的判别式

＝
∴不论为何实数，成立，
∴方程恒有实数根  -----------------------------------------3分
综合①、②，可知取任何实数，方程恒有实数根
小题2:设为抛物线与轴交点的横坐标.
令，则
由求根公式得， ， -------------------------------------5分
∴抛物线不论为任何不为0的实数时恒过定点-----------------------6分
∵
∴
∴或，----------------------------------------------------------8分
∴  或（舍去）
∴求抛物线解析式为， ----------------------------------------9分

小题3:由 ，得　
∴  --------------------------------------10分
∵直线与抛物线没有交点
∴
∴　-------------------------------------11分
所以，当，直线与（2）中的抛物线没有交点. --------------12分

解析

（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0求出方程的解x=2；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=（m+1）²得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．求出方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的解x₁=2，x₂=，根据题意得出|2-x₂|=2，求出x，x₂=0或x₂=4，进一步求出m即可；
（3）把方程组 ，转化成方程x²-3x-b=0，根据题意求出△=9+4b＜0，解不等式即可．