题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知梯形ABCD的下底边长AB＝8cm，上底边长DC＝1cm，O为AB的中点，梯形的高DO＝4cm. 动点P自A点出发，在AB上匀速运行，动点Q自点B出发，沿B→C→D→A匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，另一动点也同时停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.
（1）求S随t变化的函数关系式及t的取值范围；
（2）当t为何值时S的值最大？说明理由.

答案

（1）①当0＜t＜4时 , S₁＝OP₁·h₁＝（4－t）×t ＝－t²＋t （0＜t＜4）
②当4＜t≤5时，S₂＝OP₂·h₂＝×（t－4）×t＝t²－t  (4＜t≤5）
③当5＜t≤6时，S₃＝OP₃×4＝（t－4）×4 ＝2t－8  ( 5＜t≤6）
④当6＜t≤8时，S₄＝OP₄h₄＝（t－4）×
＝ (6＜t≤8）     
（2）∵S₁的最大值，S₂的最大值2，S₃的最大值为4，∴比较4和S₄的最大值，取t＝8 尝试，当t＝8时，得S₄＝＞5，所以最大值应在6＜t≤8区间取得，S₄抛物线顶点横坐标，且这时6＜＜8，∴当时取得最大值

解析

（1）注意讨论0＜t＜4、4＜t≤5、5＜t≤6、6＜t≤8几种情况；
（2）关键是得出最大值应在6＜t≤8区间取得。