题目

题型：不详难度：来源：

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
      

答案

解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=。
∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，       
得，解得。
∴此抛物线的解析式为。
（3）存在。
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，
设点P的坐标为（2，y）。

①若OB=OP，则2²+|y|²=4²，解得y=±，
当y=时，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。
∴y=不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
②若OB=PB，则4²+|y+|²=4²，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
③若OP=BP，则2²+|y|²=4²+|y+|²，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。

解析

（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。