题目

题型：不详难度：来源：

抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

答案

（1）（2）P（，）（3）≤m≤5，理由见解析

解析

解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）令，
∴x₁= -1，x₂=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设P（a，3-a），则D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
，
∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，

当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴，
设FN=n，则NH=3-n，
∴，
即n²-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：≤m≤5．
（1）由y=-x²+bx+c经过点A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的长，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案．